这是什么？序理论。

序理论，简要来说，就是利用二元关系来将「次序」这一概念严格化的数学分支^[1]。

二元关系

二元关系是定序这一行为的基础。集合 $X$ 与集合 $Y$ 上的一个二元关系 $R$ 定义为元组 $(X,Y,G(R))$，其中的 $X$ 被称为定义域，$Y$ 被称为值域^[2]，$G(R)$ 则被称为 $R$ 的图，且满足 $G(R) \subseteq X \times Y$^[3]。$xRy$ 成立当且仅当 $(x,y) \in G(R)$。

若 $X = Y$，则我们将二元关系 $R$ 称为齐次二元关系或内关系。下文将集中讨论齐次二元关系。

首先，有一些特殊的二元关系。对于一个集合 $A$，则

1. 空集 $\varnothing$ 称作 $A$ 上的空关系。
2. $E_A = A \times A$ 称作 $A$ 上的全域关系。
3. $I_A = \{(x,x) | x \in A\}$ 称作 $A$ 上的恒等关系。

二元关系具有一些特别的性质，对于集合 $A$ 上的二元关系 $R$，有如下特殊性质：

1. 自反性：$\forall x \in A, \~(x,x) \in R$
2. 反自反性：$\forall x \in A, \~(x,x) \notin R$
3. 对称性：$\forall x,y \in A, \~(x,y) \in R \implies (y,x) \in R$
4. 反对称性：$\forall x,y \in A, \~((x,y) \in R \wedge (y,x) \in R) \implies x=y$
5. 非对称性：$\forall x,y \in A, \~(x,y) \in R \implies (y,x) \notin R$
6. 传递性：$\forall x,y,z \in A, \~((x,y) \in R \wedge (y,z) \in R) \implies (x,z) \in R$

在此基础上，我们便可以定义出几种较为特殊的二元关系。

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1. 序理论 - OI Wiki ↩︎

2. OI Wiki 将其翻译成了"陪域"，这里采用了维基百科的译法 ↩︎

3. $X \times Y$ 表示集合 $X$ 与集合 $Y$ 的笛卡尔积，$X \times Y = \{(x,y): x \in X, y \in Y\}$ ↩︎